KPK

BAB II
PEMBAHASAN
Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan suatu bilangan adalah himpunan-himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh bilangan tersebut. Misalnya himpunan kelipataan 2 adalah {2, 4, 6, 8, 10,...}dan himpunan kelipatan dari 4 adalah {4, 8, 12, 16,……}. Kelipatan persekutuan adalah himpunan irisan dari himpunan-himpunan kelipatan. Misalnya dari himpunan kelipatan persekutuan 2 dan 4 adalah {4, 8, 12,……}. Dari himpunan itu anggota terkecilnya adalah 4,dan disebut sebagai kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah anggota terkecil dari anggota himpunan kelipatan persekutuan.
Metode untuk Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Metode Irisan Himpunan
Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan himpunan kelipatan-kelipatan positif dari bilangan pertama dan bilangan kedua. Kemudian kita tentukan himpunan persekutuan kelipatan dari bilangan-bilangan itu dan akhirnya kita pilih bilangan terkecil dari himpunan itu.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p,q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.
Contoh :
 Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab :
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K8 dan K12.
K8    = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 ………}
K12  = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 ……}
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah :
K8    =  K12  = {240, 480, 720 ….}
Karena bilangan terkecil dari K8  K12 adalah 24, KPK dari 8 dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12) = 24.
Tentukan KPK dari 40, 60, dan 80.
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 40, 50 dan 60 berturut-turut adalah K40, K60, dan K80.
K40 = {40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480,}
K60 = {60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480,....}
K80 = {80, 160, 240, 320, 400, 480,...}
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah
K8   =  K12  = {240, 480, 720,....}
Karena bilangan terkecil dari K40  K60  K80 adalah 240, KPK dari 40, 60 dan 80 adalah 240 dan ditulis
KPK (40, 60, 80) = 240

Metode Faktorisasi Prima
Metode irisan himpunan untuk menentukan KPK sering kali terlalu panjang, khususnya ketika digunakan untuk menentukan KPK dari tiga atau lebih bilangan-bilangan asli. Metode lain yang mungkin lebih efisien untuk menentukan KPK dari beberapa bilangan adalah metode faktorisasi prima. Jadi, KPK diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi. Adapun langkah menentukan KPK dengan metode faktorisasi prima adalah sebagai berikut :
Semua dari bilangan faktor dikalikan
Apabila ada yang sama ambilah yang terbesar, apabila keduanya sama ambil dari salah satunya

















Contoh :
Carilah KPK dari 8, 12 dan 30 !
Buat pohon faktor KPK nya


Faktor Prima :   2x2x2 = 23        2x2x3 = 22 x 3                2 x 3 x 5
dari ketiga faktor 8,12 dan 30 kita hanya menemukan 3 bilangan yaitu 2, 3 dan 5
faktor 2 yang terbesar àdalah 23    
faktor 3 nilainyà sama untuk 12 dan 30 makà ambil salah satunyà yaitu 3
faktor 5 ada 1 àmbil nilai 5

sehingga didapat KPK dari 8, 12 dan 30 adalah 23 x 3 x 5 = 120

Apabila A adalah himpunan kelipatan positif dari 5, yaitu A =  dan B adalah kelipatan positif dari 3; yaitu B =  maka irisan A dan B, yaitu A  B =  adalah himpunan semua kelipatan persekutuan dari 5 dan 3. Secara formal kelipatan persekutuan dan kelipatan kelipatan persekutuan terbesar (KPK) didefinisikan sebagai berikut.
Definisi I
Bilangan-bilangan bulat a1,a2,a3,...,an masing-masing tidak nol memiliki kelipatan persekutuan b, jika ai(b untuk setiap = 1,2,3,...,n.
Kelipatan persekutuan bilangan-bilangan bulat a1,a2,a3,...,an selalu ada, misalnya (a1,a2,a3,...,an) =
Definisi II
Apabila a1,a2,a3,...,an adalah bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan bulat positif terkecil diantara kelipatan-kelipatan persekutuan a1,a2,a3,...,an.
KPK dari a1 dan a2 dinyatakan (a1,a2) dan KPK dari a1,a2,a3,...,an dinyatakan (a1,a2,a3,...,an). Perhatikan contoh diatas, [3,5] yaitu KPK dari 3 dan 5 adalah 15, maka setiap kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 selalu terbagi oleh 15. Hal ini secara umum dinyatakan dalam beberapa teorema.

Teorema
Teorema I
Jika b suatu kelipatan persekutuan dari a1,a2,a3,...,an maka (a1,a2,a3,...,an) ( b. Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa jika h adalah KPK dari a1,a2,a3,...,an yaitu h = (a1,a2,a3,...,an) maka 0,h,2h,3h,... masing-masing merupakan kelipatan persekutuan dari a1,a2,a3,...,an. Bilangan b itu adalah salah satu dari kelipatan-kelipatan h itu.
Bukti:
Misalkan (a1,a2,a3,...,an) = h, maka harus ditunjukan bahwa h(b. Andaikan h b, maka ada q dan r sehingga b = hq + r dengan 0 < r < h.
Karena b suatu kelipatan persekutuan a1,a2,a3,...,an, maka a1( b untuk setiap i = 1,2,3,...,n. h = [a1,a2,a3,...,an] maka ai( h untuk setiap i = 1,2,3,..., n. dari b = hq + r dengan 0 < r < h, karena a1( b dan a1( h maka a1( r, yaitu r kelipatan persekutuan dari a1,a2,a3,...,an. hal ini bertentangan dengan r < h, karena h kelipatan persekutuan terkecil. Maka pengandaian tersebut salah, berarti h ( b yaitu r kelipatan persekutuan dari a1,a2,a3,...,an. Hal ini bertentangan r < h, karena h kelipatan persekutuan terkecil. Maka pengandaian tersebut salah, berarti h ( b yaitu [a1,a2,a3,...,an] ( b.
Perhatikan bahwa [3,5] = 15 dan [2.3,2.5] = 30. Nampak bahwa 2[3,5] = [2.3,2.5]. secara formal hal ini dinyatakan sebagai berikut.
Teorema II
Jika m > 0 maka [ma, mb] = m[a,b]
Bukti:
Misalkan [a,b] = d, maka a ( d dan b ( d. Sehingga am ( dm dari bm ( dm. Jadi dm adalah kelipatan persekutuan dari am dan bm. Selanjutnya menurut teorema 3.16, [am,bm] ( dm. [am,bm] adalah kelipatan ma, maka (am,bm) kelipatan m, misalkan [am,bm] = pm. Karena [ma,mb] ( dm berarti bm ( dm, sehingga p ( d [ma,mb] = pm maka ma ( pm dan mb ( pm, sehingga a ( p dan b ( p.a ( p dan b ( p maka [a,b] ( p. Karena [a,b] = d maka d (p.p ( d dan d ( p maka haruslah p = d, berarti pm = dm.
Jadi [ma,mb] = m [a,b].
Selanjutnya hubungan FPB dan KPK dua bilangan bulat sebarang. Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat positif yang saling prima, yaitu (a,b) = 1, maka [a,b] = ab. Hal itu ditunjukkan demikian.
[a,b] adalah kelipatan a, misalnya [a,b] = ka. [a,b] = ka maka b ( k.b (  k maka b k sehingga ab  ak, karena a positif. Tetapi tak mungkin ab < ak, karena ak adalah KPK dari a dan b. Sehingga ab = ak. Karena ak = [a,b] maka [a,b] = ab. Jadi jika (a,b) = 1 maka [a,b] = ab. Bagaimana jika (a,b) = d dengan d > 1 ? ingat teorema 3,9 yaitu jika (a,b) = d maka (a:d, b:d) = 1. Dengan penurunan yang sejalan dapat diperoleh bahwa [a:d, b:d] = (a:d)(b:d). Karena [a:d,b:d]. 1 = (a:d)(b:d) maka [a:d, b:d](a:d,b:d) = (a:d)(b:d). Jika kedua ruas dari persamaan terakhir dikalikan d2, maka diperoleh
[a,b](a,b) = ab
Uraian ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.
Teorema III
Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat positif maka [a,b](a,b) = ab.
Contoh :
Jika n bilangan bulat positif maka (n,n+1) = 1. Maka [n,n+1] = n(n+1).
(6,-10) = 2. Kelipatan-kelipatan persekutuan dari 6 dan -10 adalah : ...,-60,-30,0,30,60,.... KPK dari 6 dan -10 adalah 30, yaitu [6,-10] = 30.[6,-10](6,-10) = 30.2 = 60.
Padahal 6(-10) = -60. Ingat bahwa teorema 3.18 hanya berlaku untuk bilangan-bilangan bulat positif a dan b.
Sehingga contoh (2) itu haruslah
[a,b](a,b)=ab
Teorema 3.18 mempermudah kita dalam memudahkan KPK dua bilangan a dan b yaitu
[a,b] = ab/(a,b)


















BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah anggota terkecil dari anggota himpunan kelipatan persekutuan. Metode untuk Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diantaranya adalah dengan menggunakan metode Irisan Himpunan dan Faktorisasi Prima.
Definisi kelipatan persekutuan dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan bulat :
a1,a2,a3,...,an masing-masing tidak nol memiliki kelipatan persekutuan b, jika ai(b untuk setiap = 1,2,3,...,n.
Apabila a1,a2,a3,...,an adalah bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan bulat positif terkecil diantara kelipatan-kelipatan persekutuan a1,a2,a3,...,an.
Adapun teorema KPK diantaranya :
Jika b suatu kelipatan persekutuan dari a1,a2,a3,...,an maka (a1,a2,a3,...,an) ( b.
Jika m > 0 maka [ma, mb] = m[a,b]
Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat positif maka [a,b](a,b) = ab.

Saran
Disarankan bagi pembaca agar sekiranya tidak hanya berpatokan pada hasil penyusunan makalah kami, sebab dalam penyusunan makalah kami pasti tidak luput dari kecerobohan dan kesalahan, maka dari itu kami selaku penyusun memohon kritik dan saran yang membangun.