Puji Syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, Karena berkat rahmat dan karunia-Nyalah sehingga makalah Filsafat Matematika ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Terima kasih kami ucapkan kepada Ibu Rahmawati, S.Pd., M.Pd selaku dosen pengampu Mata Kuliah Filsafat Pendidikan Matematika yang telah membimbing kami dan tak lupa lupa kami haturkan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah turut berkontribusi dalam penyusunan makalah ini.
Makalah Filsafat Matematika ini sebagai bahan pemenuhan Mata Kuliah Filsafat Pendidikan Matematika. Kami menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini untuk itu kami mohon kritik dan saran yang membangun guna membuat kami jauh lebih baik lagi dalam menyusun makalah ke depannya. Harapannya semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi kami sebagai penyusun.
Maros,08 Maret 2019
Penyusun
DAFTAR ISI
Halaman Judul
Kata Pengantar i
Daftar Isi ii
BAB I PENDAHULUAN
Latar belakang 3
Rumusan Masalah 3
BAB II PEMBAHASAN
Matematika Mempelajari Besaran Dan Keluasan 4
Hubungan Pola, Bentuk Dan Rakitan Sebagai Sasaran Matematika Modern 7
BAB III PENUTUP
Kesimpulan 13
Saran 13
Daftar Pustaka
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dua bidang pengetahuan rasional yang tak diragukan lagi berhubungan sangat erat sejak dulu sampai sekarang adalah filsafat dan matematika. Namun hubungan itu sering diuraikan secara keliru oleh sebagian filsuf maupun ahli matematik. Mungkin karena terkesan oleh perkembangan filsafat pada zaman dulu, orang memberikan kedudukan utama kepada filsafat.
Akhirnya dalam hubungannya dengan deduksi-deduksi yang dibuat oleh matematika itu filsuf Inggris C.D. Broad dalam bukunya Scientific Thought (1949) menegaskan suatu perbedaan lagi antara filsafat dengan matematik. Dalam bidang matematik orang dengan berpangkal pada aksioma-aksioma yang tak diragukan atau premis-premis yang dianggap sebagai hipotesa menurunkan kesimpulan-kesimpulan sampai yang jauh sekali. Sebaliknya filsafat tidak berminat terhadap kesimpulan-kesimpulan yang jauh, melainkan terutama bersangkutpaut dengan analisa dan penilaian dari premis-premis semula. Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematik merupakan hasil pemikiran filsafat yang sasarannya adalah matematik itu sendiri.
Dalam makalah ini penyusun akan membahas filsafat matematika tentang, matematika mempelajari besaran dan keluasan serta hubungan, pola, bentuk, dan rakitan sebagai sasaran matematika modern. Yang dimana segenap hubungan, pola, dan bentuk serta sifat-sifat lainnya dari unsur-unsur yang tercermin pada hubungan, pola, dan bentuk merupakan struktur dari sebuah sistem matematika yang kemudian akan ditelaah kembali dalam matematika, khususnya oleh cabang matematika yang dinamakan aritmetika perduaan.
Rumusan Masalah
Apa yang dimaksud dengan besaran dan keluasan?
Apakah itu Pola, Bentuk dan Rakitan dalam ilmu matematika?
Apa hubungannya dengan matematika modern?
BAB II
PEMBAHASAN
Matematika Mempelajari Besaran Dan Keluasan
Pengertian bilangan dan ruang ternyata mengalami abstraksi lebih lanjut. Orang mencoba mencakup kedua hal itu dalam satu pengertian yang lebih umum dan menyatakanya dengan satu istilah. Istilahnya ialah quantity (kuantitas), istilah ini kiranya tepat pula di terjemahkan menjadi besaran. Tetapi, oleh karena kuantitas itu mencakup dua hal, maka kadang-kadang untuk menegaskan unsur-unsurnya lalu di tambahkan kata sifat sehingga menjadi besran angka (numerika quantity) dan besaran ruang (spatial quantity).
Batasan matematika sebagai ilmu tentang kuantitas (the science quantity) juga berasal dari masa yang silam dan pertama di berikan oleh Aristoteles. Sampai sekarang definisi ini masih di pakai pula dalam kamus-kamus dan ensiklopedi-ensiklopedi dengan di beri tambahan atau kelengkapan seperlunya.
Besaran atau kuantitas menurut sebuah kamus matematika ialah suatu jumlah atau suatu bilangan ataupun suatu ungkapan yang mengandung nilai (An amount, or a number,oran expression which takes on value ). Di sini nilai berarti sesuatu bilangan apa pun.
Menurut Bertrand Russeli, istila quantity adalah suatu kata kabur. Oleh karena itu untuk memudahkan pembahasan ia lebih suka menggantinya dengan kata bilangan (number). Seorang ahli matematika lain Hermann Weyl menyatakan bahwa sesungguhnya dalam perkembangan matematika sendiri di ragu-ragukan apakah kuantitas merupakan suatu pengertian yang penting. Oleh karena itu, ia berpendapat bahwa kita tak perlu cemas mengenai apa yang secara pasti di maksudkan dengan kuantitas itu.
Sebuah istilah lain yang juga dipakai untuk menampung pengertian bilangan dan ruang dalam batasan-batasan matematika ialah istilah magnitude (keluasan) istilah ini sering di persamakan artinya atau dianggap sepadan dengan quantity. Sebagai contoh misalnya Bernard Hausmann mengutip definisi yang berbunyi ”Mathematics is the science of quantity or magnitude" (matematika adalah ilmu tentang besaran dan keluasan).
Mengenai pengertian keluasan yang boleh di katakan seperti dengan besaran. Keyser menjelaskan bahwa “Salah satu yang tertua, sekaligus juga yang paling dikenal, dari batasan-batasan memandang matematika sebagai ilmu tentang keluasan, dalam hal ini keluasan termasuk jumlah besar sebagai suatu jenis yang istimewah, berarti apa saja yang mampu mengalami penambahan dan pengurangan serta pengukuran”.
Untuk dapat menampung pengertian bilangan dan ruang sebagai dua hal yang berlainan cirri-cirinya, kemudian orang mencoba membedakan antara discrete magnitude (keluasan yang terpisah-pisah) dan continuous magnitude (keluasan yang bersambungan). Misalnya Dagobert Runes mengutip bahwa definisi tradisional tentang matematika ialah sebagai “ilmu tentang besaran” atau “ilmu tentang keluasan yang terpisah-pisah dan yang bersambungan”. Sebuah karya referensi lain menyatakan bahwa definisi matematika sebagai ilmu tentang keluasan yang terpisah-pisah dan yang bersambungan berlaku bagi matematika sejak abad ke-16 sampai pertengahan abad ke-19 yang lalu.
Hal yang kini perlu diketahui ialah apakah yang di maksud dengan kata discrete (terpisah-pisah) dan continuous (bersambungan) dalam perumusan tersebut diatas. Eric Temple Bell menjawab demikian:
Hal yang terpisah-pisah berjuang untuk melukiskan semua alam dan semua matematika secara atomistic, dalam rangka unsur-unsur perorangan yang dapat dikenal jelas, seperti bata-bata dalam suatu tembok atau bilangan-bilangan 1,2,3,… Hal yang bersambungan berusaha memahami gejala-gejala alamiah arah- suatu planet dalam jalurnya, aliran suatu arus listrik, pasang dan surut gelombang-gelombang, dan sejumlah banyak penampakan-penampakan lain yang memperdayakan kita dalam mempercayai bahwa kita mengetahui alam dalam perumusan mistik dari Heraclitus :” Semua hal mengalir”.
Ciri-ciri pokok dari bilangan ialah ciri terpisah-pisah sendiri menyangkut sifatnya (qualitative) dan ciri satu dari satu (individual). Ciri-ciri yang demikian itu menjadikan bilangan untuk dituntung sehingga termasuk dalam lapangan aritmatika yang bercorak penggabungan. Sebaliknya, ruang mempunyai cirri-ciri bersambungan terus menerus mengenai besarnya (kuantitatyve) dan ciri sama jenis (homogeneous) yang hanya bisa diukur dalam lingkungan geometri yang bercorak analitis. Jadi, keluasan yang terpisah-pisah adalah keluasan yang menyangkut bilangan, sedangkan keluasan yang bersambungan merupakan keluasan dalam ruang. Pengertian-pengertian ini tampaknya tidak berbeda dengan besaran angka dan besaran ruang dalam pembahasan matematika sebagai ilmu tentang kuantitas.
Demikianlah bilangan, besaran, ruang, dan keluasan merupakan sasaran-sasaran yang ditelaah oleh matematika. Sasaran-sasaran itu sering kali disebut secara bersama-sama pada definisi matematika dalam kamus dan ensiklopedi sehingga perumusannya campur aduk kurang cermat.
Menurut penjelasan Keyser seperti dikutip dimuka, keluasan mengandung arti apa saja yang ‘mampu mengalami penambahan dan pengurangan serta pengukuran’. Magnitude sebagai suatu perkataan umum memang berarti juga ukuran (size, measure). Oleh karena itu, diantara para penyusun kamus ada yang menganut batasan “matematika adalah ilmu tentang bilangan, besaran dan pengukuran.
Kata-kata number dan quantity itu kemudian bahkan hapus dan definisi yang demikian sehingga ada perumusan matematika sebagai “ilmu tentang pengukuran”. Perumusan dari seorang sarjana Belanda juga berkisar pada kegiatan mengukur itu dan berbunyi sebagai berikut :
“Matematika adalah ilmu tentang hal menghitung dan hal mengukur, yang diambil dalam arti yang seluas-luasnya dan di jalankan sampai akibat-akibat yang sejauh-jauhnya.”
Makna pengukuran semula adalah penerapan yang di ulang-ulang kembali dari sebuah satuan ukuran tertentu terhadap sesuatu keluasan. Misalnya mengukur panjangnya sebatang bambu dengan penggaris berukuran satu meter. Pengukuran yang demikian itu bersifat langsung, tetapi kemudian berkembang metode-metode pengukuran lain seperti misalnya untuk mengukur besarnya sebuah planet, jarak diantara dua bintang, dan kecepatan dari cahaya. Dalam hal ini pengukuran itu sifatnya tidak langsung. Berhubung dengan kenyataan ini, filsuf dan ahli matematika Auguste Comte (1798-1857) merumuskan definisi matematika sebagai “ Ilmu tentang pengukuran yang tak langsung.”
Dalam perkembangan lebih lanjut, pengukuran secara langsung maupun tak langsung ternyata bukan satu-satunya hal yang terpenting dalam matematika. Misalnya dalam geometri proyeksi hal yang lebih penting ialah persoalan letak. Sebagai contoh misalnya gambar proyeksi mengenai sebuah segienam yang di letakkan dalam lingkaran.
Pada contoh di tersebut masalah pengukuran boleh dikatakan tidak ada atau kurang penting. Hal yang menjadi pusat perhatian ialah letak dari titik-titik dan garis-garis. Oleh karena itu variasi terakhir timbullah pendapat yang merumuskan matematika sebagai ilmu tentang keluasan atau pengukuran dan letak.
Hubungan Pola, Bentuk, Dan Rakitan Sebagai Sasaran Matematika Modern
Matematika berkembang sangat luas sejak awal abad ke-19 sehingga dianggap memasuki zaman keemasannya. Awal abad itu juga diakui sebagai masa awal matematika modern terutama dalam hal bungungan khusus dengan bagian-bagian yang sukar.
Ahli matematika Jerman yang terbesar dalam abad ke-19 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) berpendapat bahwa matematika semata-mata menyangkut perincian dan perbandingan dari hubungan-hubungan. Menurut gauss suatu keluasan tersendiri tidaklah mungkin dipelajari.
Misalnya sebuah garis tunggal tidak memberitahukan apa-apa. Tetapi, kalau sebuah garis lain diletakkan di sebelahnya maka dapatlah di telaah berbagai hubungan yang ada seperti umpamanya perbandingan panjang atau arahnya dan pengukuran yang diciptakan oleh kedua garis itu.
Pengertian hubungan dalam matematika menurut John Hafstrom bertalian erat dengan artinya, dalam pemakaian sehari-hari. Sebuah hubungan mencakup dua hal atau lebih yang memiliki sifat tertentu yang umum di antara mereka, atau yang sama-sama tercakup dalam suatu himpunan tertentu. Contoh-contoh hubungan dalam matematika misalnya adalah kesamaan (dua buah bilangan dapat dianggap berhubungan karena besarnya yang sama), pertimbangan, lebih besar, lebih kecil, atau kesejajaran.
Setiap benda di dunia ini mempunyai hubungan-hubungan yang tak disebut atau tak dinamai dengan setiap benda lainnya. Jumlah dan macam hubungan-hubungan itu tidak terbatas. Henry Poincare bahkan menyatakan bahwa ilmu sesungguhnya tidak dapat mengetahui benda-benda, melainkan hanyalah hubungan-hubungannya. Tetapi hal-hal yang ingin diketahui oleh para ahli matematika menurut Keyser adalah hubungan-hubungan abstrak yang pasti, hubungan-hubungan fungsional yang sepenuhnya ditentukan atau dapat ditentukan, dan kumpulan hubungan-hubungan yang dapat dipikirkan secara logis. Pandangan tersebut sesuai dengan pandangan modern mengenai matematika murni yang dipersamakan dengan teori hipotesis-deduktif yang umum tentang hubungan-hubungan.
Dari hubungan beberapa ahli matematika kemudian berbicara tentang pola. Pola terkadang diartikan sebagai suatu sistem mengenai hubungan-hubungan di antara perwujudan-perwujudan alamiah. Bilamana perwujudan-perwujudan ilmiah yang tampaknya rumit atau beranekaragam ditelaah secara mendalam, sering-sering dengan abstrak dalam pikiran, maka biasanya dapatlah di temukan pola-polanya.
Seorang matematikawan yang secara tegas merumuskan matematika sebagai pengetahuan yang menelaah pola adalah W.W.Sawyer. Dia mengatakan bahwa matematika adalah penggolongan dan penelaahan tentang semua pola yang mungkin.
Perwujudan-perwujudan dalam alam mempunyai berbagai pola atau keteraturan. Pola-pola yang sama sering terkandung dalam aneka benda-benda atau keadaan-keadaan yang tampaknya berbeda-beda. Tetapi, sesekali pola alamiah yang sama itu diketahui dan dipahami oleh ahli matematika dapatlah diwujudkan menjadi pola dalam matematika. Misalnya sebuah batu cadas dan sebuah bukit yang mempunyai perwujudan sebagai berikut:
Setelah dipelajari oleh ilmu matematika, fenomena gambar di atas yang kelihatannya berlainan ternyata mengandung pola atau keteraturan yang sepenuhnya sama. Dari sudut matematika perwujudan gambar di atas merupakan perwujudan dari pola yang tertuang dalam dalil Pythagoras yang terkenal dengan rumusnya A2 + B2 = C2 atau dengan kata-kata jumlah dari dua kuadrat sisi sebuah segitiga siku-siku adalah sama dengan kuadrat sisi miringnya. Rumus ini juga dapat dilihat dari gambar berikut:
Edna Kramer mengatakan bahwa “Sudut pandang yang kami baru saja kembangkan pastilah mengungkapkan matematika sebagai suatu ilmu tentang bentuk, yang tidak perlu dibatasi pada bilangan, ruang, besaran, atau pengukuran, melainkan sebaliknya bersifat mencakup semuanya, termasuk logika, ilmu-ilmu murni maupun ilmu-ilmu terapan yang untuknya ilmu-ilmu murni menyediakan bentuknya”.
Pengertian bentuk disini bukanlah gambar-gambar bidang dan bentuk-bentuk ruang sebagaimana lazim dalam geometri. Arti yang lebih baru dari bentuk dalam matematika menunjukkan pada rakitan dari hubungan-hubungan dan teori-teori matematika. Ini berkembang, tidak dari suatu penelaahan tentang bentuk ruang sebagai demikian, melainkan dari analisis mengenai pembuktian-pembuktian yang terjadi dalam geometri, aljabar, dan pembagian-pembagian lainnya dari matematika.
Menurut H.M Dadaorian pengertian mengenai bentuk memegang peran yang penting dalam dalam studi matematika. Misalnya bentuk dari suatu rumus matematika adalah jauh lebih penting daripada lambang-lambang yang dipakai dalam suatu rumus dan suatu lambang dapat digantikan dengan suatu tanda apapun tanpa mengubah berlakunya rumus itu. Sebagai contoh misalnya kalau jumlah dari dua besaran dikenakan pangkat dua, maka terjadilah langkah pengerjaan sebagai berikut:
Rumus tersebut diatas dapat juga dituliskan demikian
Rumus kedua ini yang mempunyai bentuk yang sama dengan rumus pertama akan berlaku sah sepenuhnya apapun yang menjadi isi dari segiempat dan lingkaran ituu, asalkan semua segiempat mempunyai isi yang sama dan semua lingkaran demikian juga.
Pengertian bentuk menurut kutipan bell tersebut diatas menunjuk pada rakitan dari hubungan-hubungan dan toeri-teori matematika. Raymond Wilder tampaknya menyamakan pengertian bentuk dan rakitan dalam uraiannya bahwa sebagai ahli-ahli matematika mereka rupanya menelaah bentuk-bentuk atau rakitan-rakitan yang abstrak dan hubungan-hubungan diantara mereka. Bila kita memahami bilangan pokok misalnya, ini adalah suatu sifat struktural dari suatu himpunan; kalau kita mengatakan bahwa sebuah himpunan mempunyai empat unsur, kita telah mengatakan sesuatu tentang rakitan dari himpunan itu. Kalu kita mengatakan ini tersusun secara linear, kita telah menunjukkan suatu sifat struktural yang lain.
Sebuah definisi lain mentelaah bahwa rakitan adalah penelaahan tentang rakitan-rakitan abstrak dan saling berhubungan diantara mereka. Penelahaan terhadap rakitan tersebut merupakan ciri-ciri dari matematika modern yang membedakannya dengan pengertian matematika kuno sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang.
Pandangan dari matematikawan modern ditunjukkan dalam pemakaiannya yang kerap kali mengenai akar kata “morph” artinya bentuk, seperti dalam kata-kata homomorphism, isomorphism, dan homeomorphism. Matematikawan memandang sistem bilangan sebagai sebuah kumpulan struktur-struktur yang saling berkaitan.
Peralihan dan penitikberatan kepada rakitan itu terjadi karena orang mulai berpendapat bahwa sasaran matematika berupa bilangan, titik, garis, dan bentuk-bentuk ruang lainnya sebagai hal yang sungguh-sungguh berwujud tidaklah banyak artinya dalam matematika. Courant dan Robbins mengatakan, “Apa yang penting dan apa yang bertalian dengan kenyataan yang dapat diperiksa kebenarannya adalah rakitan dan hubungan, bahwa dua titik menentukan sebuah garis, bahwa bilangan-bilangan bergabung menurut aturan-aturan tertentu untuk membentuk bilangan-bilangan lain, dan sebagainya”.
Selain definisi di atas, rakitan juga merupakan sebuah istilah yang bersifat agak mencakup semuanya yang diterapkan bagi hubungan-hubungan logis yang terdapat di antara berbagai kegiatan yang dilakukan dalam suatu organisasi. Maksudnya rakitan memberikan suatu susunan yang tertib di antara fungsi-fungsi sehingga tujuan-tujuan organisasi itu dapat tercapai secara efisien. Struktur mengandung arti sistem dan pola.
Dari pemaparan di atas bahwa pengertian rakitan sesungguhnya dapat meliputi bentuk, pola dan hubungan yang semula telah diuraikan sebagai sasaran-sasaran matematika tersendiri. Kini menjadi semakin tegas bahwa pengertian rakitan sesungguhnya mencakup hubungan, pola dan bentuk. Dengan demikian, perumusan-perumusan terdahulu mengenai matematika sebagai studi tentang hubungan-hubungan, studi tentang pola-pola, dan studi tentang bentuk dapatlah tertampung semuanya kalau orang merumuskan matematika sebagai studi tentang rakitan.
Selanjutnya perlu ditegaskan bahwa rakitan yang ditelaah oleh matematika ialah rakitan dari sistem-sistem matematika seperti yang dikatakan oleh gauss. Sebagai contoh mengenai system matematika yang strukturnya ditelaah oleh ahli matematika modern ialah misalnya system perduaan yang lazim digunakan dalam komputer elektronik untuk melakukan perhitungan-perhitungan. Dalam system ini hanya dipergunakan dua angka (0 dan 1) untuk menyatakan semua bilangan dan melakukan perhitungan sampai jumlah berapapun. Bilangan nol dinyatakan dengan lambing 0, sedang bilangan satu juga tetap dinyatakan dengan angka 1 tetapi untuk bilangan dua yang terjadi dari satu tambah satu, aturan perhitungan dan penulisannya adalah sebagai berikut:
1
+1
10
Bilangan dua itu ditulis 10 karena sistem perduaannya hanya memakai angka 0 dan 1 serta tidak mengenal angka-angka lainnya. Selanjutnya kalau bilangan dua di atas ditambah dengan satu sehingga menjadi tiga, maka perhitungan dan penulisannya adalah sebagai berikut:
10
+1
11
Selanjutnya kalau bilangan tiga di atas ditambah lagi sehingga menjadi bilangan empat, maka tata cara penulisanna adalah sebagai berikut:
11
+1
100
Hubungan-hubungan bilangan perpaduan dan aturan-aturan penambahannya dapat disusun menjadi pola dengan bentuk sebagai berikut:
+
0
1
0
0
1
1
1
10
Segenap hubungan, pola, dan bentuk serta sifat-sifat lainnya dari unsur-unsur yang tercermin pada table di atas merupakan struktur dari sebuah sistem matematika yang disebut binary system (sistem perpaduan). Sistem ini ditelaah dalam matematika, khususnya oleh cabangnya yang dinamakan aritmetika perpaduan (binary arithmetic).
BAB III
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Besaran atau kuantitas menurut sebuah kamus matematika ialah suatu jumlah atau suatu bilangan ataupun suatu ungkapan yang mengandung nilai. apa saja yang mampu mengalami penambahan dan pengurangan serta pengukuran
Matematika sebagai ilmu tentang hubungan adalah ilmu yang di dalamnya hubungan-hubungan yang diketahui di antara keluasaan-keluasaan dikenakan proses-proses tertentu yang membuat hubungan-hubungan lainnya dapat diturunkan. Sedangkan pola adalah suatu sistem mengenai hubungan-hubungan di antara perwujudan-perwujudan alamiah. Sedangkan bentuk memegang suatu peranan yang sangat penting dalam studi matematika. Dan dari penelaahan tentang bentuk maka akhirnya membawa para matematikawan kepada struktur dan lahirlah definisi matematika menganai rakitan. Dan dari kesemua itu maka lahirlah sistem perduaan (binary system), dan sistem ini akan ditelaah lebih lanjut pada cabang matematika tentang aritmetika perduaan (binary arithmetic).
Saran
Kami menyadari penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan untuk itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik pembaca agar penyusunan makalah kami kedepannya lebih baik lagi. Dan semoga makalah kami ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca maupun kami sebagai penyusun.
DAFTAR PUSTAKA
The Liang Gie, Filsafat Matematika. Yogyakarta: Pusat Belajar Ilmu Berguna
Yuwono Ari, Filsafat Matematika, online, http : // ariyuwono. blogspot. co. id/ 2009/03/filsafat-matematika_19html?m=1, diakses 08 Maret 2019, pukul 19:58.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar